EDP avancées

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UFR Sciences et techniques de Pau

Départements

EDP avancées

Objectifs

En alternance, une année sur deux :

Lois de conservation non linéaires

Il s'agit d'étudier des problèmes paraboliques non linéaires par une approche plutôt variationnelle, d'aborder une première réflexion sur la notion de problèmes dégénérés changeant de type et d'envisager le cas des problèmes hyperboliques d'ordre un.

Equations de Navier-Stokes :

L’objet de ce cours est de fournir les techniques les plus couramment utilisées pour l’étude et la recherche de solutions de certaines équations aux dérivées partielles provenant de la mécanique des fluides. On s’intéressera particulièrement aux équations de Stokes et de Navier-Stokes. Dans une première partie, les problèmes stationnaires ou d’évolution sont posés dans des ouverts bornés. Dans la seconde partie, on examinera le cas d’écoulements infinis, avec une analyse mathématique complètement différente. Les écoulements à travers un obstacle fourniront une application aux méthodes intégrales.

Pré-requis recommandés

Lois de conservation non linéaires et

Equations de Navier-Stokes :

Analyse hilbertienne - espaces de Lebesgue et de Sobolev - analyse fonctionnelle.

Volume horaire

  • CM : 27
  • TD : 12

Examens

Première session

Deuxième session

Contrôle continu : 0%

Examen terminal : 100%

Durée de l'examen terminal : 3 heures

Examen : 100 %

Durée de l'examen  : 3 heures

Syllabus

En alternance, une année sur deux :

Lois de conservation non linéaires :

1) Rappels sur les distributions à valeurs vectorielles et les espaces de type L^p(0,T,V) et W(0,T).

2) Problèmes paraboliques non dégénérés : théorèmes de point fixe et discrétisation en temps et compacité.

3) Problèmes paraboliques dégénérés : viscosité artificielle.

4) Problèmes hyperboliques d’ordre un dans R puis dans un ouvert borné : méthode des caractéristiques et notion de solution faible puis faible entropique.

5) Problèmes hyperboliques d’ordre un dans R^n : méthode d’unicité par dédoublement des variables

6) Existence via la méthode de viscosité artificielle.

Bibliographie :

Dautray Lions : Analyse mathématique et calcul numérique

Brézis : Analyse fonctionnelle

Evans : Partial Differential Equations

 

En alternance, une année sur deux :

Equations de Navier-Stokes :

PARTIE I. Equations de Navier-Stokes en domaines bornés

  1. Modélisation, rappels de Mécanique des Milieux Continus

  2. Problème stationnaire de Stokes

    • Théorèmes de traces dans H(div), résultats de densité, lemme de Peetre-Tartar et variantes du théorème de De Rham.

    • Problème de Stokes : existence, unicité et régularité suivant les données et la géométrie de l’ouvert, fonctions propres.

    • Condition Inf-Sup et décompositions de Helmholtz.

  3. Equations stationnaires de Navier-Stokes

    • Théorème de Brouwer, méthode de Galerkin, unicité et régularité.

    • Problème non homogène dans un ouvert non simplement connexe, lemme de Hopf, inégalité de Hardy.

  4. Problème d’évolution de Navier-Stokes

    • Rappels sur les distributions à valeurs vectorielles, lemme d’Aubin.

    • Existence et unicité (en dimension deux) de solutions faibles, propriétés de continuité du terme de convection, solutions fortes, régularité des solutions.

    • Etude de l’équation d’Euler.

 PARTIE II. Equations de Navier-Stokes en domaines non bornés :

  1. Equation de Laplace

    • Espaces de Sobolev avec poids, inégalités de Hardy, inégalité de Calderon-Zygmund, solution fondamentale du laplacien.

    • Existence, régularité et comportement à l’infini des solutions de l’équation de Poisson dans un cadre fonctionnel non nécessairement hilbertien.

    • Résolution dans le cadre des espaces de Sobolev avec poids de l’équation de Poisson avec des conditions aux limites non homogènes de type Dirichlet ou Neumann dans des ouverts extérieurs.

  2. Le problème de Stokes

    • Cas de l’espace entier.

    • Etude du problème non homogène extérieur avec des conditions aux limites de type Dirichlet.

  3. Equations d’Oseen et de Navier-Stokes

    • Existence de solutions faibles d’énergie finie pour les équations de Navier-Stokes, théorie Lp

    • Solutions fondamentales de l’opérateur d’Oseen, recherche de solutions faibles et comportement à l’infini.

  4. Equations intégrales : En dimension 2 et en dimension 3. Potentiels de simple et double couche.

En bref

Crédits ECTS 4

Nombre d'heures 39

Niveau d'étude BAC +5

Contact(s)

Composante

Contact(s) administratif(s)

Secrétariat de Mathématiques - Brigitte GAUBERT

Email : brigitte.gaubert @ univ-pau.fr

Lieu(x)

  • Pau